4.4 初等方阵及应用
# 矩阵乘法与初等变换的联系
将矩阵 A=(ai,j)m×nA = (a_{i, j})_{m \times n}A=(ai,j)m×n 与 B=(bi,j)n×pB = (b_{i, j})_{n \times p}B=(bi,j)n×p 相乘，可以将矩阵 BBB 的每一行作为一块，写成分块形式：
B=(B1B2⋮Bn)B = \begin {pmatrix}
B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_n
\end {pmatrix}
B=B1B2⋮Bn
AAA 的每个元作为一块，进行分块运算得：
AB=(a1,1a1,2⋯a1,ma2,1a2,2⋯a2,m⋮⋮⋱⋮am,1am,2⋯am,n)(B1B2⋮Bn)=(a1,1B1+a1,2B2+⋯+a1,nBna2,1B1+a2,2B2+⋯+a2,nBn⋮am,1B1+am,2B2+⋯+am,nBn)\begin {aligned}
AB & = \begin {pmatrix}
a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, m} \\
a_{2, 1} & a_{2, 2} & \cdots & a_{2, m} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m, 1} & a_{m, 2} & \cdots & a_{m, n}
\end {pmatrix} \begin {pmatrix}
B_1 \\ B_2 \\ \vdots \\ B_n
\end {pmatrix} \\
& = \begin {pmatrix}
a_{1, 1} B_1 + a_{1, 2} B_2 + \cdots + a_{1, n} B_n \\
a_{2, 1} B_1 + a_{2, 2} B_2 + \cdots + a_{2, n} B_n \\
\vdots \\
a_{m, 1} B_1 + a_{m, 2} B_2 + \cdots + a_{m, n} B_n
\end {pmatrix}
\end {aligned}
AB=a1,1a2,1⋮am,1a1,2a2,2⋮am,2⋯⋯⋱⋯a1,ma2,m⋮am,nB1B2⋮Bn=a1,1B1+a1,2B2+⋯+a1,nBna2,1B1+a2,2B2+⋯+a2,nBn⋮am,1B1+am,2B2+⋯+am,nBn
这说明：ABABAB 的每一行都是 BBB 的行的线性组合，组合系数由 AAA 的相应的行提供。
经过初等行变换 B↦B1B \mapsto B_1B↦B1 后的矩阵 B1B_1B1 的行都是变换前的矩阵 BBB 的行的线性组合，从 BBB 到 B1B_1B1 的变换可以通过在 BBB 的左边乘以适当的矩阵 AAA 来实现：
B↦B1=ABB \mapsto B_1 = AB
B↦B1=AB
因此我们可以 设计适当的 AAA，分别满足下面的条件：
将 BBB 的前两行交换得到 ABABAB；
将 BBB 的第 111 行乘 λ\lambdaλ 得到 ABABAB；
将 BBB 的第 111 行的 λ\lambdaλ 倍加到第 222 行得到 ABABAB。
设 BBB 的各行依次为 B1,B2,⋯ ,BnB_1, B_2, \cdots, B_nB1,B2,⋯,Bn。
(1) ABABAB 的各项为 B2,B1,B3,⋯ ,BnB_2, B_1, B_3, \cdots, B_nB2,B1,B3,⋯,Bn。由于
B2=0B1+1B2+0B3+⋯+0BnB1=1B1+0B2+0B3+⋯+0BnBi=0B1+⋯+0Bi−1+1Bi+0Bi+1+⋯+0Bn(3≤i≤n)B_2 = 0 B_1 + 1 B_2 + 0 B_3 + \cdots + 0 B_n \\
B_1 = 1 B_1 + 0 B_2 + 0 B_3 + \cdots + 0 B_n \\
B_i = 0 B_1 + \cdots + 0 B_{i - 1} + 1 B_i + 0 B_{i + 1} + \cdots + 0 B_n (3 \le i \le n)
B2=0B1+1B2+0B3+⋯+0BnB1=1B1+0B2+0B3+⋯+0BnBi=0B1+⋯+0Bi−1+1Bi+0Bi+1+⋯+0Bn(3≤i≤n)
则矩阵
A=(01101⋱1)A = \begin {pmatrix}
0 & 1 & & & \\
1 & 0 & & & \\
& & 1 & & \\
& & & \ddots & \\
& & & & 1
\end {pmatrix}
A=01101⋱1
符合要求。
(2) ABABAB 的各行依次为 λB1,B2,⋯ ,Bn\lambda B_1, B_2, \cdots, B_nλB1,B2,⋯,Bn，因此
A=(λ1⋱1)A = \begin {pmatrix}
\lambda & & & \\
& 1 & & \\
& & \ddots & \\
& & & 1
\end {pmatrix}
A=λ1⋱1
符合要求。
(3) ABABAB 的各行依次为 B1,λB1+B2,B3,⋯ ,BnB_1, \lambda B_1 + B_2, B_3, \cdots, B_nB1,λB1+B2,B3,⋯,Bn，因此
A=(1λ1⋱1)A = \begin {pmatrix}
1 & & & \\
\lambda & 1 & & \\
& & \ddots & \\
& & & 1
\end {pmatrix}
A=1λ1⋱1
符合要求。
# 初等矩阵
定义 111：如下方阵称为 初等矩阵（elementary matrix）：
对 1≤i Pi,j=(I(i−1)01I(j−i−1)10I(n−j))P_{i, j} = \begin {pmatrix} I_{(i - 1)} & & & & \\ & 0 & & 1 & \\ & & I_{(j - i - 1)} & & \\ & 1 & & 0 & \\ & & & & I_{(n - j)} \end {pmatrix} Pi,j=I(i−1)01I(j−i−1)10I(n−j) 对 1≤i≤n,λ≠01 \le i \le n, \lambda \not = 01≤i≤n,λ=0，将 nnn 阶单位矩阵 I(n)I_{(n)}I(n) 的第 iii 行乘 λ\lambdaλ 得到的方阵： Di(λ)=(I(i−1)λI(n−i))D_i(\lambda) = \begin {pmatrix} I_{(i - 1)} & & \\ & \lambda & \\ & & I_{(n - i)} \end {pmatrix} Di(λ)=I(i−1)λI(n−i) 对 1≤i,j≤n,i≠j,λ≠01 \le i, j \le n, i \not = j, \lambda \not = 01≤i,j≤n,i=j,λ=0，将 nnn 阶单位矩阵 I(n)I_{(n)}I(n) 的第 jjj 行的 λ\lambdaλ 倍加到第 iii 行得到的方阵： Ti,j(λ)=(I(i−1)1λ⋱1I(n−j))T_{i, j}(\lambda) = \begin {pmatrix} I_{(i - 1)} & & & & \\ & 1 & & \lambda & \\ & & \ddots & & \\ & & & 1 & \\ & & & & I_{(n - j)} \end {pmatrix} Ti,j(λ)=I(i−1)1⋱λ1I(n−j) 对任意的 i,ji, ji,j 记 Ei,jE_{i, j}Ei,j 为第 (i,j)(i, j)(i,j) 元为 111、其余为 000 的矩阵，则得到 Pi,j,Di(λ)P_{i, j}, D_i (\lambda)Pi,j,Di(λ) 和 Ti,j(λ)T_{i, j} (\lambda)Ti,j(λ) 的运算性质： Pi,j=I−Ei,i−Ej,j+Ei,j+Ej,iP_{i, j} = I - E_{i, i} - E_{j, j} + E_{i, j} + E_{j, i}Pi,j=I−Ei,i−Ej,j+Ei,j+Ej,i； Di(λ)=I+(λ−1)Ei,iD_i (\lambda) = I + (\lambda - 1) E_{i, i}Di(λ)=I+(λ−1)Ei,i； Ti,j(λ)=I+λEi,jT_{i, j} (\lambda) = I + \lambda E_{i, j}Ti,j(λ)=I+λEi,j。 定理 111：对矩阵 BBB 做初等行变换，效果相当于对 BBB 左乘相应的初等方阵： 将 BBB 的第 i,ji, ji,j 行互换：B↦Pi,jBB \mapsto P_{i, j} BB↦Pi,jB； 将 BBB 的第 iii 行乘 λ≠0\lambda \not = 0λ=0：B↦Di(λ)BB \mapsto D_i (\lambda) BB↦Di(λ)B； 将 BBB 的第 jjj 行的 λ\lambdaλ 倍加到第 iii 行：B↦Ti,j(λ)BB \mapsto T_{i, j} (\lambda) BB↦Ti,j(λ)B。 由此可得： 初等方阵可逆，其逆方阵仍是初等方阵； Pi,j2=IP_{i, j}^2 = IPi,j2=I，进而 Pi,j−1=Pi,jP_{i, j}^{-1} = P_{i, j}Pi,j−1=Pi,j； Di(λ)−1=Di(λ−1)D_i (\lambda)^{-1} = D_i (\lambda^{-1})Di(λ)−1=Di(λ−1)； Ti,j(λ)−1=Ti,j(−λ)T_{i, j} (\lambda)^{-1} = T_{i, j} (- \lambda)Ti,j(λ)−1=Ti,j(−λ)。 下面考虑 BABABA 与 BBB 的关系。将 BBB 的每一列作为一块，写成分块形式 B=(β1,⋯ ,βm)B = (\beta_1, \cdots, \beta_m) B=(β1,⋯,βm) AAA 的每个元作为一块，进行分块运算得： BA=(β1,⋯ ,βm)(a1,1a1,2⋯a1,ma2,1a2,2⋯a2,m⋮⋮⋱⋮am,1am,2⋯am,n)=(β1a1,1+β2a2,1+⋯+βmam,1,⋯ ,β1a1,n+β2a2,n+⋯+βmam,n)\begin {aligned} BA & = (\beta_1, \cdots, \beta_m) \begin {pmatrix} a_{1, 1} & a_{1, 2} & \cdots & a_{1, m} \\ a_{2, 1} & a_{2, 2} & \cdots & a_{2, m} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m, 1} & a_{m, 2} & \cdots & a_{m, n} \end {pmatrix} \\ & = (\beta_1 a_{1, 1} + \beta_2 a_{2, 1} + \cdots + \beta_m a_{m, 1}, \cdots, \beta_1 a_{1, n} + \beta_2 a_{2, n} + \cdots + \beta_m a_{m, n}) \end {aligned} BA=(β1,⋯,βm)a1,1a2,1⋮am,1a1,2a2,2⋮am,2⋯⋯⋱⋯a1,ma2,m⋮am,n=(β1a1,1+β2a2,1+⋯+βmam,1,⋯,β1a1,n+β2a2,n+⋯+βmam,n) 这说明：BABABA 的每一列都是 BBB 的列的线性组合，组合系数由 AAA 的相应的列提供。 用矩阵消元法解线性方程组，对任一矩阵 AAA 作初等行变换，可以将 AAA 化为阶梯形。如果同时使用初等行变换和初等列变换，可以将任一矩阵 AAA 化到更简单的形式。而对 AAA 进行初等行变换和初等列变换，相当于对 AAA 左乘和右乘一系列初等方阵。 定理 222：任意的 m×nm \times nm×n 矩阵 AAA 都可以通过有限次初等行变换和初等列变换化为： (I(r)OOO)(1)\begin {pmatrix} I_{(r)} & O \\ O & O \end {pmatrix} \tag {1} (I(r)OOO)(1) 其中 r=rank Ar = \mathrm {rank} \, Ar=rankA。 证明：如果 A=OA = OA=O，则 AAA 是所求。 设 A=(ai,j)m×n≠OA = (a_{i, j})_{m \times n} \not = OA=(ai,j)m×n=O。其中必有元 ak,l≠0a_{k, l} \not = 0ak,l=0。 如果 a1,1=0a_{1, 1} = 0a1,1=0，当 k≠1k \not = 1k=1 时将 AAA 的第 111 行与第 kkk 行互换，可将非零元 ak,la_{k, l}ak,l 换到第 111 行； 如果 l≠1l \not = 1l=1，再将第 111 列和第 lll 列互换，将非零元换到第 (1,1)(1, 1)(1,1) 位置。经过这样的初等行变换和初等列变换，一定可以将 A=(ai,j)m×nA = (a_{i, j})_{m \times n}A=(ai,j)m×n 化为 B=(bi,j)m×nB = (b_{i, j})_{m \times n}B=(bi,j)m×n，使 a1,1≠0a_{1, 1} \not = 0a1,1=0。 对 2≤i≤m,2≤j≤n2 \le i \le m, 2 \le j \le n2≤i≤m,2≤j≤n，将 B=(bi,j)m×nB = (b_{i, j})_{m \times n}B=(bi,j)m×n 第 111 行的 −bi,1b1,1- \dfrac {b_{i, 1}} {b_{1, 1}}−b1,1bi,1 倍加到第 iii 行，第 111 列的 −b1,j1,1- \dfrac {b_{1, j}} {1, 1}−1,1b1,j 倍加到第 jjj 列，可以将 BBB 中第 222 至第 mmm 行的第 111 列元化为 000，第 222 至第 nnn 列的第 111 行化为 000。 再将第 111 行乘 1b1,1\dfrac 1 {b_{1, 1}}b1,11 可以将第 (1,1)(1, 1)(1,1) 元化为 111。这样就将 BBB 化为了如下形式的矩阵： C=(1A1)C = \begin {pmatrix} 1 & \\ & A_1 \end {pmatrix} C=(1A1) 其中 A1A_1A1 是 (m−1)×(n−1)(m - 1) \times (n - 1)(m−1)×(n−1) 矩阵。 如果 A1=OA_1 = OA1=O，则 A1A_1A1 已经是所需的形状。 设 A1≠OA_1 \not = OA1=O，重复以上步骤，对 A1A_1A1 作初等行变换和初等列变换可以将 A1A_1A1 化为： A2=(1A1)A_2 = \begin {pmatrix} 1 & \\ & A_1 \end {pmatrix} A2=(1A1) 其中 A2A_2A2 是 (m−2)×(n−2)(m - 2) \times (n - 2)(m−2)×(n−2) 矩阵。这也就是对 CCC 的第 222 行至第 mmm 行作初等行变换，对 CCC 的第 222 至第 nnn 列作初等列变换，将 CCC 进一步化为： C=(11A2)C = \begin {pmatrix} 1 & & \\ & 1 & \\ & & A_2 \end {pmatrix} C=11A2 重复这个过程，最后可以得到形如 (1)(1)(1) 的矩阵： (I(r)OOO)\begin {pmatrix} I_{(r)} & O \\ O & O \end {pmatrix} (I(r)OOO) 这个矩阵的 rrr 个非零行线性无关，组成行向量的极大线性无关组，因此秩为 rrr。而对矩阵进行初等行变换和初等列变换不改变矩阵的秩，因此 AAA 的秩也是 rrr，也就是： r=rank Ar = \mathrm {rank} \, A r=rankA 推论 111：对任意 m×nm \times nm×n 矩阵 AAA，用一系列的 mmm 阶初等方阵 P1,P2,⋯ ,PsP_1, P_2, \cdots, P_sP1,P2,⋯,Ps 左乘 AAA，以及一系列初等方阵 Q1,Q2,⋯ ,QtQ_1, Q_2, \cdots, Q_tQ1,Q2,⋯,Qt 右乘 AAA，将 AAA 化为： (I(r)OOO)\begin {pmatrix} I_{(r)} & O \\ O & O \end {pmatrix} (I(r)OOO) 其中 r=rank Ar = \mathrm {rank} \, Ar=rankA。存在 mmm 阶可逆方阵 PPP 和 nnn 阶可逆方阵 QQQ 使 PAQPAQPAQ 具有上述形式。 定理 333：如果 AAA 是可逆方阵，则 AAA 可以表示为若干个初等方阵的乘积。 证明：由于 AAA 可逆，rank A=n\mathrm {rank} \, A = nrankA=n，由 定理 222 知道 AAA 可以左乘一系列初等方阵 P1,P2,⋯ ,PsP_1, P_2, \cdots, P_sP1,P2,⋯,Ps，右乘一系列初等方阵 Q1,Q2,⋯ ,QtQ_1, Q_2, \cdots, Q_tQ1,Q2,⋯,Qt 化为 I(n)I_{(n)}I(n)： Ps⋯P2P1AQ1Q2⋯Qt=IA=P1−1P2−1⋯Ps−1Qt−1⋯Q2−1Q1−1P_s \cdots P_2 P_1 A Q_1 Q_2 \cdots Q_t = I \\ A = P_1^{-1} P_2^{-1} \cdots P_s^{-1} Q_t^{-1} \cdots Q_2^{-1} Q_1^{-1} Ps⋯P2P1AQ1Q2⋯Qt=IA=P1−1P2−1⋯Ps−1Qt−1⋯Q2−1Q1−1 由于初等方阵 P1,P2,⋯ ,Ps,Q1,Q2,⋯ ,QtP_1, P_2, \cdots, P_s, Q_1, Q_2, \cdots, Q_tP1,P2,⋯,Ps,Q1,Q2,⋯,Qt 的逆仍是初等方阵，上式表明 AAA 是初等矩阵的乘积。 推论 222：可逆方阵 AAA 可以经过有限次初等行变换化为单位矩阵。 例 1.1.1. 设 A∈Fn×n,B∈Fn×nA \in \mathbb F^{n \times n}, B \in \mathbb F^{n \times n}A∈Fn×n,B∈Fn×n，如果以 A,BA, BA,B 为块组成的 A,BA, BA,B 可以经过一系列的初等行变换变成 (I,X)(I, X)(I,X) 的形式，则其中的块为 X=A−1BX = A^{-1} BX=A−1B。 证明：矩阵的每个初等行变换可以通过左乘一个初等方阵来实现。(A,B)(A, B)(A,B) 可以经过一系列初等行变换变成 (I,X)(I, X)(I,X)，也就是左乘一系列初等方阵 P1,P2,⋯ ,PsP_1, P_2, \cdots, P_sP1,P2,⋯,Ps 变成 (I,X)(I, X)(I,X)： P1P2⋯Ps(A,B)=(I,X)P_1 P_2 \cdots P_s (A, B) = (I, X) P1P2⋯Ps(A,B)=(I,X) 记 P=P1P2⋯PsP = P_1 P_2 \cdots P_sP=P1P2⋯Ps，则 P(A,B)=(I,X)P (A, B) = (I, X)P(A,B)=(I,X)， (PA,PB)=(I,X),PA=I,PB=X(PA, PB) = (I, X), PA = I, PB = X (PA,PB)=(I,X),PA=I,PB=X 由 PA=IPA = IPA=I，知 P=A−1P = A^{-1}P=A−1，从而 X=PB=A−1BX = PB = A^{-1} B X=PB=A−1B 考虑将分块矩阵 S=(ABCD)S = \begin {pmatrix} A & B \\ C & D \end {pmatrix} S=(ACBD) 看成两 “行” 两 “列”。如果 AAA 是可逆矩阵，则可以将第一 “行” 左乘 −CA−1- CA^{-1}−CA−1 加到第二行消去 CCC，再将第一 “列” 右乘 −A−1B- A^{-1} B−A−1B 加到第二 “列” 得到： (ABCD)→(ABOD−CA−1B)→(AOOD−CA−1B)\begin {pmatrix} A & B \\ C & D \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} A & B \\ O & D - C A^{-1} B \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} A & O \\ O & D - C A^{-1} B \end {pmatrix} (ACBD)→(AOBD−CA−1B)→(AOOD−CA−1B) 于是所说的行变换和列变换就可以通过左乘和右乘这两个 “初等方阵” 来实现： (IO−CA−1I)(ABCD)(I−A−1BOI)=(AOOD−CA−1B)(2)\begin {pmatrix} I & O \\ - C A^{-1} & I \end {pmatrix} \begin {pmatrix} A & B \\ C & D \end {pmatrix} \begin {pmatrix} I & - A^{-1} B \\ O & I \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} A & O \\ O & D - C A^{-1} B \end {pmatrix} \tag {2} (I−CA−1OI)(ACBD)(IO−A−1BI)=(AOOD−CA−1B)(2) 等式 (2)(2)(2) 称为 Schur 公式。 # 矩阵乘法与行列式 # 同阶方阵乘积的行列式 设 BBB 是 nnn 阶方阵，PPP 是 nnn 阶初等方阵。BBB 通过适当的初等行变换变到 PBPBPB，行列式 ∣B∣|B|∣B∣ 乘上了适当的倍数 μ\muμ 变成 ∣PB∣|PB|∣PB∣。我们研究这个倍数 μ\muμ 与 PPP 的关系。 P=Pi,jP = P_{i, j}P=Pi,j。此时的初等行变换 B↦Pi,jBB \mapsto P_{i, j} BB↦Pi,jB 是将 BBB 的第 i,ji, ji,j 两行互换，因此： ∣Pi,jB∣=−∣B∣=(−1)∣B∣|P_{i, j} B| = - |B| = (-1) |B| ∣Pi,jB∣=−∣B∣=(−1)∣B∣ 然而 Pi,jP_{i, j}Pi,j 是由单位阵 III 的两行互换得来的，因此 ∣Pi,j∣=−∣I∣|P_{i, j}| = - |I|∣Pi,j∣=−∣I∣，可见 ∣Pi,jB∣=∣P∣∣B∣|P_{i, j} B| = |P| |B| ∣Pi,jB∣=∣P∣∣B∣ P=Di(λ)P = D_i (\lambda)P=Di(λ)。此时的初等行变换是将 BBB 的第 iii 行乘 λ\lambdaλ，因此 ∣Di(λ)B∣=λ∣B∣|D_i (\lambda) B| = \lambda |B| ∣Di(λ)B∣=λ∣B∣ 由单位阵 III 经过同样的初等变换得到 Di(λ)D_i (\lambda)Di(λ)，∣Di(λ)∣=λ|D_i (\lambda)| = \lambda∣Di(λ)∣=λ，因此 ∣Di(λ)B∣=∣Di(λ)∣∣B∣|D_i (\lambda) B| = |D_i (\lambda)| |B| ∣Di(λ)B∣=∣Di(λ)∣∣B∣ P=Ti,j(λ)P = T_{i, j} (\lambda)P=Ti,j(λ)。将 BBB 的第 jjj 行的 λ\lambdaλ 倍加到第 iii 行得到 Ti,j(λ)BT_{i, j} (\lambda) BTi,j(λ)B， ∣Ti,j(λ)B∣=∣B∣|T_{i, j} (\lambda) B| = |B| ∣Ti,j(λ)B∣=∣B∣ 由单位阵 III 经过同样的初等变换得到 Ti,j(λ)T_{i, j} (\lambda)Ti,j(λ)，∣Ti,j(λ)∣=1|T_{i, j} (\lambda)| = 1∣Ti,j(λ)∣=1 ∣Ti,j(λ)B∣=∣Ti,j(λ)∣∣B∣|T_{i, j} (\lambda) B| = |T_{i, j} (\lambda)| |B| ∣Ti,j(λ)B∣=∣Ti,j(λ)∣∣B∣ 定理 444：设 BBB 是 nnn 阶方阵，AAA 是 nnn 阶方阵，则： ∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣|AB| = |A| \cdot |B| ∣AB∣=∣A∣⋅∣B∣ 例 2.2.2. 已知 A∈Fn×m,B∈Fm×nA \in \mathbb F^{n \times m}, B \in \mathbb F^{m \times n}A∈Fn×m,B∈Fm×n，求证： ∣I(n)−AB∣=∣I(m)−BA∣(3)|I_{(n)} - AB| = |I_{(m)} - BA| \tag {3} ∣I(n)−AB∣=∣I(m)−BA∣(3) 证明： ∣I(n)−AB∣=∣I(m)BOI(n)−AB∣(I(m)OAI(n))(I(m)BOI(n)−AB)(I(m)O−AI(n))=(I(m)−BABOI(n))∣I(m)OAI(n)∣=∣I(m)O−AI(n)∣=1∣I(m)BOI(n)−AB∣=∣I(m)−BABOI(n)∣=∣I(m)−BA∣∣I(n)−AB∣=∣I(m)−BA∣|I_{(n)} - AB| = \begin {vmatrix} I_{(m)} & B \\ O & I_{(n)} - AB \end {vmatrix} \\ \begin {pmatrix} I_{(m)} & O \\ A & I_{(n)} \end {pmatrix} \begin {pmatrix} I_{(m)} & B \\ O & I_{(n)} - AB \end {pmatrix} \begin {pmatrix} I_{(m)} & O \\ - A & I_{(n)} \end {pmatrix} = \begin {pmatrix} I_{(m)} - BA & B \\ O & I_{(n)} \end {pmatrix} \\ \begin {vmatrix} I_{(m)} & O \\ A & I_{(n)} \end {vmatrix} = \begin {vmatrix} I_{(m)} & O \\ - A & I_{(n)} \end {vmatrix} = 1 \\ \begin {vmatrix} I_{(m)} & B \\ O & I_{(n)} - AB \end {vmatrix} = \begin {vmatrix} I_{(m)} - BA & B \\ O & I_{(n)} \end {vmatrix} = |I_{(m)} - BA| \\ |I_{(n)} - AB| = |I_{(m)} - BA| ∣I(n)−AB∣=I(m)OBI(n)−AB(I(m)AOI(n))(I(m)OBI(n)−AB)(I(m)−AOI(n))=(I(m)−BAOBI(n))I(m)AOI(n)=I(m)−AOI(n)=1I(m)OBI(n)−AB=I(m)−BAOBI(n)=∣I(m)−BA∣∣I(n)−AB∣=∣I(m)−BA∣ 注：(3)(3)(3) 可以作为公式来计算行列式。 # 矩阵相抵 定义 222：设 A,B∈Fm×nA, B \in \mathbb F^{m \times n}A,B∈Fm×n，如果 AAA 可以通过一系列初等行变换和初等列变换变成 BBB，就称 AAA 与 BBB 相抵，也称 AAA 与 BBB 等价（equivalent）。 引理 111：AAA 与 BBB 相抵 ⇔\Leftrightarrow⇔ 存在可逆矩阵 P,QP, QP,Q 使 B=PAQB = PAQB=PAQ。 证明：设 AAA 与 BBB 相抵，AAA 可以通过一系列初等行变换和初等列变换变成 BBB。每个初等行变换可以通过左乘某个初等方阵实现，每个初等列变换可以通过右乘某个初等方阵实现，因此存在一系列初等方阵 P1,P2,⋯ ,Ps,Q1,Q2,⋯ ,QtP_1, P_2, \cdots, P_s, Q_1, Q_2, \cdots, Q_tP1,P2,⋯,Ps,Q1,Q2,⋯,Qt 使： Ps⋯P2P2AQ1Q2⋯Qt=BP_s \cdots P_2 P_2 A Q_1 Q_2 \cdots Q_t = B Ps⋯P2P2AQ1Q2⋯Qt=B 取 P=Ps⋯P2P1,Q=Q1Q2⋯QtP = P_s \cdots P_2 P_1, Q = Q_1 Q_2 \cdots Q_tP=Ps⋯P2P1,Q=Q1Q2⋯Qt，则 P,QP, QP,Q 是可逆方阵且 PAQ=BPAQ = BPAQ=B。 反过来设存在可逆矩阵 P,QP, QP,Q 使 B=PAQB = PAQB=PAQ，由推论 111，可逆方阵都可以表示成有限个初等方阵的乘积： P=Ps⋯P2P1,Q=Q1Q2⋯QtP = P_s \cdots P_2 P_1, Q = Q_1 Q_2 \cdots Q_t P=Ps⋯P2P1,Q=Q1Q2⋯Qt 因此，B=Ps⋯P2P1AQ1Q2⋯QtB = P_s \cdots P_2 P_1 A Q_1 Q_2 \cdots Q_tB=Ps⋯P2P1AQ1Q2⋯Qt。由此可知 AAA 经过一系列初等行变换和初等列变换变成 BBB。 引理 222：矩阵的相抵关系具有如下性质： 反身性：AAA 相抵于自己； 对称性：如果 AAA 相抵于 BBB，则 BBB 相抵于 AAA； 传递性：如果 AAA 相抵于 BBB，BBB 相抵于 CCC，则 AAA 相抵于 CCC。 由于相抵关系的以上性质，可以将 Fm×n\mathbb F^{m \times n}Fm×n 按相抵关系划分成两两没有公共元素的类 RAR_ARA，每一类称为一个 相抵等价类（equivalent class），对于每个元素 AAA，必属于唯一的一类。 由于每个 AAA 都可以通过有限次初等变换变成 S=(I(r)OOO)S = \begin {pmatrix} I_{(r)} & O \\ O & O \end {pmatrix} S=(I(r)OOO) 也就是 AAA 相抵于 SSS。选取 SSS 作为 AAA 所在的相抵等价类 RAR_ARA 的代表，称为 SSS 是 相抵标准型（canonical form of equivalent matrices）。 定理 555：设 A,B∈Fm×nA, B \in \mathbb F^{m \times n}A,B∈Fm×n，则 AAA 与 BBB 相抵当且仅当 rank A=rank B\mathrm {rank} \, A = \mathrm {rank} \, BrankA=rankB。 证明：AAA 与 BBB 相抵 ⇒\Rightarrow⇒ 存在可逆矩阵 P,QP, QP,Q B=PAQ⇒rank B=rank (PAQ)=rank AB = PAQ \\ \Rightarrow \mathrm {rank} \, B = \mathrm {rank} \, (PAQ) = \mathrm {rank} \, A B=PAQ⇒rankB=rank(PAQ)=rankA Fm×n\mathbb F^{m \times n}Fm×n 中的每个矩阵 AAA 相抵于它的标准形： S=(I(r)OOO)S = \begin {pmatrix} I_{(r)} & O \\ O & O \end {pmatrix} S=(I(r)OOO) 其中 r=rank Ar = \mathrm {rank} \, Ar=rankA。如果 B∈Fm×nB \in \mathbb F^{m \times n}B∈Fm×n 的秩与 AAA 相同，则 BBB 也相抵于 SSS，由相抵的传递性，BBB 相抵于 AAA。 事实上，对于 Fm×n\mathbb F^{m \times n}Fm×n，记 d=min{m,n}d = \min \{ m, n \}d=min{m,n} 则可以按矩阵的秩将 Fm×n\mathbb F^{m \times n}Fm×n 分成 d+1d + 1d+1 类，并且每一类中所有的矩阵有一个标准形： Cr=(I(r)OOO),r∈{0,1,⋯ ,d}C_r = \begin {pmatrix} I_{(r)} & O \\ O & O \end {pmatrix}, r \in \{ 0, 1, \cdots, d \} Cr=(I(r)OOO),r∈{0,1,⋯,d} 例 2.2.2. 设 A∈Fn×nA \in \mathbb F^{n \times n}A∈Fn×n，rank A=r\mathrm {rank} \, A = rrankA=r，则存在 B∈Fn×nB \in \mathbb F^{n \times n}B∈Fn×n 满足条件：rank B=n−r\mathrm {rank} \, B = n - rrankB=n−r，且 AB=BA=OAB = BA = OAB=BA=O。 证明：存在可逆方阵 P,Q∈Fn×nP, Q \in \mathbb F^{n \times n}P,Q∈Fn×n，使： A=P(I(r)OOO)QA = P \begin {pmatrix} I_{(r)} & O \\ O & O \end {pmatrix} Q A=P(I(r)OOO)Q 取 B=Q−1(O(r)OOI(n−r))P−1B = Q^{-1} \begin {pmatrix} O_{(r)} & O \\ O & I_{(n - r)} \end {pmatrix} P^{-1} B=Q−1(O(r)OOI(n−r))P−1 即满足条件。 # 习题 已知：λ≠0\lambda \not = 0λ=0， A=(λ00λ−1),B=(10−11)(11−λ01)(10λ−11)(λ00λ−1)A = \begin {pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end {pmatrix}, B = \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 1 - \lambda \\ 0 & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda^{-1} & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end {pmatrix} A=(λ00λ−1),B=(1−101)(101−λ1)(1λ−101)(λ00λ−1) (1) 将 AAA 经过一系列初等行变换得到 BBB； (2) 将 AAA 写成第三类初等方阵的乘积。 (1) 解：由 BBB 的定义可知： A=(λ00λ−1)→(λ01λ−1)→(1λ−1−11λ−1)→(1λ−1−101) A = \begin {pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} \lambda & 0 \\ 1 & \lambda^{-1} \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 1 & \lambda^{-1} - 1 \\ 1 & \lambda^{-1} \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 1 & \lambda^{-1} - 1 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} A=(λ00λ−1)→(λ10λ−1)→(11λ−1−1λ−1)→(10λ−1−11) (2) 解：注意到 BBB 也是第三类初等方阵，则： A=(10λ−11)−1(11−λ01)−1(10−11)−1B=(10−λ−11)(1λ−101)(1011)(λ00λ−1) \begin {aligned} A & = \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ \lambda^{-1} & 1 \end {pmatrix}^{-1} \begin {pmatrix} 1 & 1 - \lambda \\ 0 & 1 \end {pmatrix}^{-1} \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end {pmatrix}^{-1} B \\ & = \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ -\lambda^{-1} & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & \lambda - 1 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda^{-1} \end {pmatrix} \end {aligned} A=(1λ−101)−1(101−λ1)−1(1−101)−1B=(1−λ−101)(10λ−11)(1101)(λ00λ−1) 试将方阵 A=(01−10)A = \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end {pmatrix}A=(0−110) 写成第三类初等方阵的乘积。 解：考虑如下初等行变换过程： A=(01−10)→(11−10)→(1101) A = \begin {pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 0 \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} A=(0−110)→(1−110)→(1011) 将该行变换的逆过程转换为初等方阵，可得： A=(1101)(10−11)(1−101) A = \begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & -1 \\ 0 & 1 \end {pmatrix} A=(1011)(1−101)(10−11) 已知 aaa 是常数，且矩阵 A=(12a13027−a)A = \begin {pmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a \end {pmatrix} A=112237a0−a 可经过初等列变换化为矩阵： B=(1a2011−111)B = \begin {pmatrix} 1 & a & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end {pmatrix} B=10−1a11211 (1) 求 aaa； (2) 求满足 AP=BAP = BAP=B 的可逆阵 PPP。 (1) 解：可将 AAA 进行如下初等列变换： A=(12a13027−a)→(121031−172)→(101011−132)→(121011−112)→(122011−111) A = \begin {pmatrix} 1 & 2 & a \\ 1 & 3 & 0 \\ 2 & 7 & -a \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 \\ -1 & 7 & 2 \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 3 & 2 \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 1 \end {pmatrix} A=112237a0−a→10−1237112→10−1013112→10−1211112→10−1211211 由此可得：a=2a = 2a=2。 (2) 解：将上述过程写作初等方阵的乘积，可得： P=(001010100)(1200010001)(1000100−21)(120010001)(101010001) P = \begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} \frac 1 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & -2 & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {pmatrix} \begin {pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end {pmatrix} P=001010100210001000110001−2001100210001100010101 此即对矩阵进行如下初等列变换： (001010100)→(0010101200)→(0−210101200)→(0−210101210)→(0−2101012112) \begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac 1 2 & 0 & 0 \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac 1 2 & 0 & 0 \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac 1 2 & 1 & 0 \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac 1 2 & 1 & \frac 1 2 \end {pmatrix} 001010100→0021010100→0021−210100→0021−211100→0021−2111021 即 P=(0−2101012112)P = \begin {pmatrix} 0 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \frac 1 2 & 1 & \frac 1 2 \end {pmatrix}P=0021−2111021。 设 X=(0a10⋯0000a2⋯00⋮⋮⋮⋱⋮⋮000⋯an−20000⋯0an−1an00⋯00)X = \begin {pmatrix} 0 & a_1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a_2 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & a_{n - 2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & a_{n - 1} \\ a_n & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \end {pmatrix} X=00⋮00ana10⋮0000a2⋮000⋯⋯⋱⋯⋯⋯00⋮an−20000⋮0an−10 其中 ai≠0(i=1,2,⋯ ,n)a_i \not = 0 (i = 1, 2, \cdots, n)ai=0(i=1,2,⋯,n)，求 X−1X^{-1}X−1。 解：由初等方阵的乘积，可以通过如下方式将 XXX 转化成单位方阵： XP1,2P2,3⋯Pn−1,nD1(1a1)D2(1a2)⋯Dn(1an)=I(n) X P_{1, 2} P_{2, 3} \cdots P_{n - 1, n} D_1 \left( \frac 1 {a_1} \right) D_2 \left( \frac 1 {a_2} \right) \cdots D_n \left( \frac 1 {a_n} \right) = I_{(n)} XP1,2P2,3⋯Pn−1,nD1(a11)D2(a21)⋯Dn(an1)=I(n) 则 X−1=P1,2P2,3⋯Pn−1,nD1(1a1)D2(1a2)⋯Dn(1an) X^{-1} = P_{1, 2} P_{2, 3} \cdots P_{n - 1, n} D_1 \left( \frac 1 {a_1} \right) D_2 \left( \frac 1 {a_2} \right) \cdots D_n \left( \frac 1 {a_n} \right) X−1=P1,2P2,3⋯Pn−1,nD1(a11)D2(a21)⋯Dn(an1) 即对矩阵进行如下初等列变换： (010⋯0100⋯0001⋯0⋮⋮⋮⋱⋮000⋯1)→(00⋯0110⋯0001⋯00⋮⋮⋱⋮⋮00⋯10)→(00⋯01an1a10⋯0001a2⋯00⋮⋮⋱⋮⋮00⋯1an−10) \begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & 0 \end {pmatrix} \to \begin {pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac 1 {a_n} \\ \frac 1 {a_1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \frac 1 {a_2} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac 1 {a_{n - 1}} & 0 \end {pmatrix} 010⋮0100⋮0001⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮1→010⋮0001⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮1100⋮0→0a110⋮000a21⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮an−11an100⋮0 因此有： X−1=(00⋯01an1a10⋯0001a2⋯00⋮⋮⋱⋮⋮00⋯1an−10) X^{-1} = \begin {pmatrix} 0 & 0 & \cdots & 0 & \frac 1 {a_n} \\ \frac 1 {a_1} & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ 0 & \frac 1 {a_2} & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac 1 {a_{n - 1}} & 0 \end {pmatrix} X−1=0a110⋮000a21⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮an−11an100⋮0 矩阵乘法矩阵的秩初等方阵